Самые палиндромные дни
(часть 1)

26 января 2022
Время на чтение: 4 минуты

Не так давно у меня был юбилей. Если точно, то 55 дней назад, 2 декабря 2021 года. Это было самое начало зимы: уже выпал снег, похолодало... и приближался Новый Год. В общем, замечательное время! А день тот был немного необычный. Понял я это накануне, в последних числах ноября, и сразу же сел за работу над этой статьей.

В какой-то момент я решил, что было бы неплохо написать ещё вот об этом, а потом ещё и о том... Ну Вы поняли, статью к дню рождения я не закончил. Потом дела навались... А за ними праздники... Поэтому, чтобы быстее опубликовать материал, я решил разбить его на несколько частей. И это — первая, ознакомительная часть.

• • •

Мне всегда нравилась математика и особенно — теория чисел. Но сегодня я попробую не занудствовать. Речь пойдёт о датах, днях и месяцах. Я убеждён, что числа нравятся очень многим людям. Ну разве может человек, который не любит числа, отложить свою свадьбу на целый год или даже два только из-за того, что 2 февраля — очень хороший день? Особенно, если это 2 февраля 2020 года!

Наверняка все знают, что такое палиндром. Если нет, то палиндром — это такое число, слово или фраза, которая читается в обе стороны одинаково. Например, числа 101 и 2332, слова «дед» и «потоп», а также знакомое всем с детства словосочетание «А роза упала на лапу Азора».

И Вы, наверное, уже догадываетесь, в чём тут дело. 2 февраля 2020 года, 2 декабря 2021 и 22 февраля 2022 года — это палиндромные даты! То есть такие дни, для которых цифры года, числа и месяца, записанные подряд, дают палиндром.

Кто-то может сказать: «Подумаешь, палиндром какой-то, и что такого?» Но в том-то и дело, что палиндром не какой-то, а ого-го какой! Но придётся зайти чуть-чуть из далека.

Наш мир большой, в нём много стран. И люди в этих странах живут разные. Кто-то, как и мы, например, записывает дату так: 12.02.1891. То есть 2 цифры дня, потом ещё 2 цифры месяца и ещё 4 цифры года. Но в Соединённых Штатах Америки используют не точку, а косую черту, и сначала у них обычно идёт месяц, потом день, а потом год. А в Японии даты записывают, начиная с года.

И так сложилось, что практически все люди в мире используют один из трёх вариантов записи дат. Если обозначить буквами D, M и Y цифры дня, месяца и года соответственно, то получатся такие варианты: dd‑mm‑yyyy (DMY), mm‑dd‑yyyy (MDY) и yyyy‑mm‑dd (YMD). Последний вариант, кстати, является международным (стандарт ISO 8601).

Важно это потому, что от того, как именно будет записана дата, зависит, получится ли палиндром. Например, возьмём 22 февраля 2022 года: палиндром 22022022 получится только в формате DMY. А 2 декабря 2021 будет палиндромом 12022021 только в формате MDY. Но вообще, год можно записать двумя последними цифрами, а дни и месяцы — одной, если их значение не превышает 9, так что вариантов немного больше.

Но несмотря на всё это, 2 февраля 2020 года — особенный день: в каком бы из 3 вариантов мы не записали эту дату, мы всегда получим палиндром! Даты, подобные этой, называют всемирными палиндромными днями! Они очень редки: предыдущий такой день был чуть более 908 лет назад, в ноябре 1111 года, а следующий будет почти через 102 года, в декабре 2121!

Внимательный читатель, должно быть, задаётся вопросом: что такого в дате 22 февраля? Всё дело в том, что палиндромные дни бывают разные. Одни случаются реже, другие немного чаще. И после 22 февраля 2022 года до следующей подобной палиндромной даты придётся ждать 2903 дня или почти 8 лет!

Дальше в тексте будет много цифр. И если уважаемый читатель утомился и уже готов уйти, то всё же советую задержаться и прокрутить страницу, пропустив скучную статистику. А для влюблённых в числа и любознательных интересное начнётся прямо сейчас.

• • •

Ни для кого не секрет, что в году обычно 365 дней, а в високосных годах — 366. Поэтому 29 февраля бывает примерно 1 раз в 4 года. Почему примерно? Потому что каждый сотый год високосным не является, кроме одного раза в 400 лет. Таким образом, на каждые 400 лет приходится 97 високосных. Поэтому 29 февраля случается в среднем каждые 4.1237113402061855670103092783505 года.

Но так было не всегда. Сейчас мы все живём по григорианскому календарю, который был принят в 1582 году взамен прежнего юлианского. А до этого високосных лет было немного больше — ровно один год из каждых четырёх.

Примечательно, что 1 января 1 года — это понедельник. Понедельником является и 1 января 401 года, так же, как и 801, 1201, 1601 и 2001 годов. Другими словами, каждые 400 лет всё повторяется. Происходит это из-за того, что в 400 годах 146,097 дней или 20,871 полная неделя!

Как Вы думаете, сколько среди всех первых дней года разных дней недели? Поровну? А вот и нет! Если сосчитать дни первого января от самого первого года и до 2022 включительно, то получится вот что:

ПН ВТ СР ЧТ ПТ СБ ВС
Високосные 65 71 71 66 76 65 76
Обычные 218 223 217 222 217 218 217
Всего 283 294 288 288 293 283 293

Не трудно посчитать, что каждый следующий год дни недели смещаются на 1 день для обычных лет, и на 2 дня — для високосных. Например, 8 марта в прошлом, 2020 году было понедельником, в этом — будет вторником, в 2023 году — средой, и так как 2024 год — високосный (и 29 февраля раньше, чем 8 марта), то 8 марта 2024 года будет пятницей! Данный факт легко объяснить: если в году 365 дней, это 52 полных недели, 52×7=364 дня, а значит один день — лишний!

• • •

Постойте-ка... это ведь статья о палиндромах, верно? Просто автору кажется, что все эти факты такие интересные. Но пора вернуться к основной теме. И прежде, чем мы продолжим, нам нужно кое о чём договориться.

Изучая свойства палиндромных дат, мы должны чётко понимать, что можно считать таковой, а что нет. Выше я уже упоминал о 3 вариантах записи дат, когда речь шла об очерёдности дня, месяца и года. Но теперь давайте уточним:

Исходя из последнего условия, можно разбить все палиндромные даты на четыре типа по частоте их встречаемости. В своей классификации я решил обозначать тип даты сочетанием буквы «T» и цифры от 1 до 4. Чем старше цифра, тем более редкой является дата.

Так, тип T4 соответствует наиболее редким всемирным палиндромным дням. В период с 1 января 1 года по 31 декабря 5000 года таких дней насчитывается всего 52! Причём ровно половина (26) из этого количества дат случилась до 100 года, и три четверти (39) — до 1000 года.

Следующий по частоте встречаемости тип T3 соответствует палиндромным дням, в которых день и месяц всегда записаны 2 цифрами (для значений от 1 до 9 к цифре добавляется 0 слева), а год никогда не сокращается. В том же периоде насчитывается 1,044 таких даты.

Для типа T2 день, месяц и год записываются как есть, без добавления ноля и без сокращения года. В период с 1 по 5000 годы включительно таких дат насчитывается 6,641.

Последний тип T1 является наибоее часто встречающимся типом палиндромных дат. В этих датах год всегда сокращён до последних 2 цифр, поэтому самая первая такая дата — это 10 февраля 101 года. Всего же таких дат в выбранном периоде насчитывается 28,367!

Полный список всех палиндромных дат с 1 января 1900 года по 31 декабря 2100 года получился довольно большим. В общей сложности он содержит 1,373 даты. Поэтому я вынес его в отдельную статью «Список всех палиндромных дат». Полный список всех палиндромных дат с 1-го по 5000-й годы содержит 36,104 даты и доступен в виде текстового файла (.zip архив, 346 Кб).

• • •

Иногда так случается, что палиндромные дни следуют друг за другом. Как правило, в таких случаях они образуют последовательность из 9 или 10 подряд идущих дней. Такие последовательности 3 и более дней принято называть палиндромными неделями.

За период с 1900 по 2100 годы таких недель насчитывается 42. Все они перечислены на этой странице. Полный список всех палиндромных недель с 1 по 5000 годы включительно (1,081 неделя) в текстовом формате находится здесь (.zip архив, 51 Кб).